高数二成人高考公式有哪些？

成人高考高数二主要涉及函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等内容,以下是各部分重点公式：

函数、极限和连续

• 极限
  • 两个重要极限：
    • $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
    • $\lim\limits{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$（$x$ 也可换成其他趋于无穷的变量形式，如 $n$，即 $\lim\limits{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ ）
  • 极限运算法则：
    • 若 $\lim\limits_{x \to x0} f(x)$ 和 $\lim\limits{x \to x0} g(x)$ 都存在，则 $\lim\limits{x \to x0} [f(x) \pm g(x)] = \lim\limits{x \to x0} f(x) \pm \lim\limits{x \to x_0} g(x)$
    • $\lim\limits_{x \to x0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits{x \to x0} f(x) \cdot \lim\limits{x \to x_0} g(x)$
    • 若 $\lim\limits_{x \to x0} g(x) \neq 0$，则 $\lim\limits{x \to x0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits{x \to x0} f(x)}{\lim\limits{x \to x_0} g(x)}$
• 连续
  • 函数 $y = f(x)$ 在点 $x0$ 处连续的充要条件是 $\lim\limits{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

一元函数微分学

• 导数定义：$f^\prime(x0) = \lim\limits{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
• 求导公式
  • $(C)^\prime = 0$（$C$ 为常数）
  • $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$
  • $(\sin x)^\prime = \cos x$
  • $(\cos x)^\prime = -\sin x$
  • $(e^x)^\prime = e^x$
  • $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$
  • $(a^x)^\prime = a^x \ln a$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）
  • $(\log_a x)^\prime = \frac{1}{x \ln a}$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）
• 求导法则
  • 加法法则：$(u + v)^\prime = u^\prime + v^\prime$
  • 乘法法则：$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$
  • 除法法则：$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$（$v \neq 0$）
  • 复合函数求导法则：若 $y = F(G(x))$，则 $y^\prime = F^\prime(G(x)) \cdot G^\prime(x)$
• 微分公式：$dy = f^\prime(x)dx$

一元函数积分学

• 不定积分
  • 基本积分公式
    • $\int kdx = kx + C$（$k$ 为常数）
    • $\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n \neq -1$）
    • $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
    • $\int e^x dx = e^x + C$
    • $\int \sin x dx = -\cos x + C$
    • $\int \cos x dx = \sin x + C$
  • 不定积分运算法则
    • $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
    • $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k$ 为常数）
  • 换元积分法
    • 第一类换元法（凑微分法）：若 $\int f[g(x)]g^\prime(x)dx$，令 $u = g(x)$，则 $\int f[g(x)]g^\prime(x)dx = \int f(u)du$
    • 第二类换元法：令 $x = \varphi(t)$，将 $\int f(x)dx$ 转化为 $\int f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt$
  • 分部积分法：$\int u dv = uv - \int v du$
• 定积分
  • 牛顿 - 莱布尼茨公式：若 $F^\prime(x) = f(x)$，则 $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$
  • 定积分性质
    • $\int{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]dx = \int{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx$
    • $\int{a}^{b} kf(x)dx = k\int{a}^{b} f(x)dx$（$k$ 为常数）
    • $\int{a}^{b} f(x)dx = \int{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$（$a < c < b$）
    • $\int{a}^{b} f(x)dx = -\int{b}^{a} f(x)dx$

多元函数微积分学

• 偏导数
  • 函数 $z = f(x, y)$ 对 $x$ 的偏导数：$fx(x, y) = \lim\limits{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$
  • 函数 $z = f(x, y)$ 对 $y$ 的偏导数：$fy(x, y) = \lim\limits{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}$
• 全微分：若函数 $z = f(x, y)$ 的偏导数 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续，则函数在该点可微，且 $dz = f_x(x, y)dx + f_y(x, y)dy$
• 二重积分
  • 直角坐标系下计算：$\iint{D} f(x, y)d\sigma = \int{a}^{b} dx \int_{y_1(x)}^{y2(x)} f(x, y)dy$（先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分）或 $\iint{D} f(x, y)d\sigma = \int{c}^{d} dy \int{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y)dx$（先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分）
  • 极坐标系下计算：令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$d\sigma = r dr d\theta$，则 $\iint{D} f(x, y)d\sigma = \int{\alpha}^{\beta} d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr$

无穷级数

• 常数项级数
  • 等比级数：$\sum_{n = 0}^{\infty} aq^n = \frac{a}{1 - q}$（$|q| < 1$），发散（$|q| \geq 1$）
  • 正项级数审敛法
    • 比较判别法：设 $\sum_{n = 1}^{\infty} un$ 和 $\sum{n = 1}^{\infty} v_n$ 都是正项级数，且 $u_n \leq vn$（$n = N, N + 1, \cdots$），若 $\sum{n = 1}^{\infty} vn$ 收敛，则 $\sum{n = 1}^{\infty} un$ 收敛；若 $\sum{n = 1}^{\infty} un$ 发散，则 $\sum{n = 1}^{\infty} v_n$ 发散。
    • 比值判别法：设 $\sum_{n = 1}^{\infty} un$ 为正项级数，且 $\lim\limits{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \rho$，当 $\rho < 1$ 时，级数收敛；当 $\rho > 1$（包括 $\rho = \infty$）时，级数发散；当 $\rho = 1$ 时,判别法失效。
• 幂级数
  • 幂级数的收敛半径：对于幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} an x^n$，令 $\lim\limits{n \to \infty} |\frac{a_{n + 1}}{a_n}| = \rho$（$\rho$ 为非负常数或 $\infty$），则收敛半径 $R = \begin{cases} \frac{1}{\rho}, & \rho \neq 0, \infty \ \infty, & \rho = 0 \ 0, & \rho = \infty \end{cases}$
  • 幂级数的性质：幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛区间 $(-R, R)$ 内具有任意阶导数，且 $S^{(k)}(0) = k!a_k$（$k = 0, 1, 2, \cdots$）

常微分方程

• 一阶线性微分方程：$y^\prime + P(x)y = Q(x)$，其通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$
• 可分离变量的微分方程：$M(x)dx = N(y)dy$，两边分别积分 $\int M(x)dx = \int N(y)dy + C$ 即可得到通解。

公式是成人高考高数二中较为核心和常用的，考生需要理解公式的推导过程,并通过大量练习来熟练掌握公式的运用。