成人高考高等数学一专升本必考公式有哪些？

成人高考高等数学（一）专升本考试中，涉及的知识点广泛，公式众多，以下从极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程六个方面为你梳理必考公式：

极限与连续

• 极限运算法则
  • 若$\lim\limits{x \to a} f(x)$和$\lim\limits{x \to a} g(x)$都存在，则：
    • $\lim\limits{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim\limits{x \to a} f(x) \pm \lim\limits_{x \to a} g(x)$
    • $\lim\limits{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x)$
    • $\lim\limits{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits{x \to a} f(x)}{\lim\limits{x \to a} g(x)}$（$\lim\limits{x \to a} g(x) \neq 0$）
  • 重要极限
    • $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
    • $\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
• 等价无穷小替换
  • 当$x \to 0$时：
    • $\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$\arcsin x \sim x$，$\arctan x \sim x$
    • $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$e^x - 1 \sim x$，$\ln(1 + x) \sim x$，$a^x - 1 \sim x\ln a$

一元函数微分学

• 求导公式
  • 常数函数：$(C)^\prime = 0$（$C$为常数）
  • 幂函数：$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$
  • 指数函数：$(a^x)^\prime = a^x\ln a$，$(e^x)^\prime = e^x$
  • 对数函数：$(\log_a x)^\prime = \frac{1}{x\ln a}$，$(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$
  • 三角函数：$(\sin x)^\prime = \cos x$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$，$(\tan x)^\prime = \sec^2 x$，$(\cot x)^\prime = -\csc^2 x$
  • 反三角函数：$(\arcsin x)^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，$(\arccos x)^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，$(\arctan x)^\prime = \frac{1}{1 + x^2}$，$(\text{arccot} x)^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}$
• 求导法则
  • 加减法则：$(u \pm v)^\prime = u^\prime \pm v^\prime$
  • 乘法法则：$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$
  • 除法法则：$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$（$v \neq 0$）
  • 复合函数求导法则：若$y = F(G(x))$，则$y^\prime = F^\prime(G(x)) \cdot G^\prime(x)$
• 微分公式

  $dy = f^\prime(x)dx$

一元函数积分学

• 不定积分基本公式
  • $\int kdx = kx + C$（$k$为常数）
  • $\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n \neq -1$）
  • $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
  • $\int e^x dx = e^x + C$
  • $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0$且$a \neq 1$）
  • $\int \sin x dx = -\cos x + C$
  • $\int \cos x dx = \sin x + C$
  • $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
  • $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
  • $\int \sec x\tan x dx = \sec x + C$
  • $\int \csc x\cot x dx = -\csc x + C$
• 不定积分运算法则
  • $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
  • $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k$为常数）
• 定积分基本公式

  牛顿 - 莱布尼茨公式：若$F^\prime(x) = f(x)$，则$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$

• 定积分性质
  • $\int{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]dx = \int{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx$
  • $\int{a}^{b} kf(x)dx = k\int{a}^{b} f(x)dx$（$k$为常数）
  • $\int{a}^{b} f(x)dx = \int{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$（$a < c < b$）

多元函数微积分学

• 偏导数公式
  • 若$z = f(x, y)$，则$zx = \frac{\partial z}{\partial x} = \lim\limits{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$，$zy = \frac{\partial z}{\partial y} = \lim\limits{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}$
• 全微分公式

  $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

• 二重积分公式
  • 直角坐标系下：$\iint{D} f(x, y)d\sigma = \int{a}^{b} dx \int_{c}^{d} f(x, y)dy$（$D$为积分区域，$a \leq x \leq b$，$c \leq y \leq d$）
  • 极坐标系下：$\iint{D} f(x, y)d\sigma = \int{\alpha}^{\beta} d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr$（$D$为极坐标下的积分区域）

无穷级数

• 幂级数展开式
  • $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$，$x \in (-\infty, +\infty)$
  • $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + \cdots$，$x \in (-\infty, +\infty)$
  • $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$，$x \in (-\infty, +\infty)$
  • $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n - 1} \frac{x^n}{n} + \cdots$，$x \in (-1, 1]$
  • $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots$，$x \in (-1, 1)$
• 幂级数收敛半径
  • 对于幂级数$\sum_{n = 0}^{\infty} an x^n$，其收敛半径$R = \lim\limits{n \to \infty} |\frac{an}{a{n + 1}}|$（若该极限存在）

常微分方程

• 一阶线性微分方程
  • 标准形式：$y^\prime + P(x)y = Q(x)$
  • 通解公式：$y = e^{-\int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$
• 可分离变量的微分方程
  • 形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$
  • 解法：$\int \frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx + C$

在备考过程中,不仅要记住这些公式，还要理解其推导过程和应用场景，通过大量练习来熟练掌握公式的运用。